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4a Geometrische Körper und ihre Netze

Lernziele NI
Lernziele NII
Lernziele NIII
Einleitung

In diesem Kapitel lernst du mathematische Fachbegriffe im Zusammenhang mit den geometrischen Körpern Prisma, Quader, Pyramide und Würfel kennen. Welche Merkmale machen diese Körper aus und wie kannst du sie am besten identifizieren.

​

Dafür werden Begriffe rund um einen geometrischen Körper wie Ecken, Fläche und Kanten eingeführt. Begriffe wie Seite werden nur in der zweidimensionalen Geometrie verwendet.

​

Ein geometrischer Körper kann in verschiedene Netze aufgeklappt werden. Du wirst dich zum Beispiel mit allen 11 Würfelnetze auseinandersetzen müssen.

​

Als Abschluss lernst du den sogenannten Polyedersatz von Euler kennen, der die Zusammenhänge zwischen den Anzahl Ecken, Flächen und Kanten beschreibt.

Geometrische Körper (Polyeder)

Beispiele von Würfelnetzen

Würfel und ihre Netze

Ein Würfel besteht aus 6 kongruente Quadrate. Sechs Quadrate können wir auf 35 verschiedene Arten anordnen, doch nicht jede Anordnung führt zu einem Würfel, wenn wir sie zusammenklappen.

Es gibt insgesamt 11 verschiedene Anordnungen für die sechs Quadrate, so dass ein Würfel entsteht.

Beispiele für Würfelnetze

Würfel und ihre Netze

Ein Würfel besteht aus 6 kongruente Quadrate. Sechs Quadrate können wir auf 35 verschiedene Arten anordnen, doch nicht jede Anordnung führt zu einem Würfel, wenn wir sie zusammenklappen.

Es gibt insgesamt 11 verschiedene Anordnungen für die sechs Quadrate, so dass ein Würfel entsteht.

Beispiele für Würfelnetze

Aufgaben zu den 11 Würfelnetzen

Nimm ein dickes A4-Papier und zeichne mit sechs kongruenten Quadraten ein Würfelnetz. (Bitte nicht die gleichen wie beim Beispiel oben). Folgendes musst du beachten:

 

  • Die Seitenlänge der Quadrate beträgt 5cm. Die Quadrate müssen konstruiert werden.

  • Überlege bevor du das Netz ausschneidest, ob es sich bei deinem Netz um ein "richtiges" Würfelnetz handelt.

  • Damit du das Netz zusammenkleben kannst, musst du 7 Klebelaschen einzeichnen.

 

Überprüfe dein Netz noch einmal, bevor du es ausschneidest und zusammenklebst. Falls es sich um ein "falsches" Würfelnetz handelt oder die Klebelaschen nicht richtig Gesetz wurden, musst du von neuem beginnen.

Beispiel für Klebelaschen

Einleitung

In diesem Kapitel lernst du mathematische Fachbegriffe im Zusammenhang mit den geometrischen Körpern Prisma, Quader, Pyramide und Würfel kennen. Welche Merkmale machen diese Körper aus und wie kannst du sie am besten identifizieren.

​

Dafür werden Begriffe rund um einen geometrischen Körper wie Ecken, Fläche und Kanten eingeführt. Begriffe wie Seite werden nur in der zweidimensionalen Geometrie verwendet.

​

Ein geometrischer Körper kann in verschiedene Netze aufgeklappt werden. Du wirst dich zum Beispiel mit allen 11 Würfelnetze auseinandersetzen müssen.

​

Als Abschluss lernst du den sogenannten Polyedersatz von Euler kennen, der die Zusammenhänge zwischen den Anzahl Ecken, Flächen und Kanten beschreibt.

Geometrische Körper (Polyeder)

Aufgaben zu den 11 Würfelnetzen

Nimm ein dickes A4-Papier und zeichne mit sechs kongruenten Quadraten ein Würfelnetz. (Bitte nicht die gleichen wie beim Beispiel oben). Folgendes musst du beachten:

 

  • Die Seitenlänge der Quadrate beträgt 5cm. Die Quadrate müssen konstruiert werden.

  • Überlege bevor du das Netz ausschneidest, ob es sich bei deinem Netz um ein "richtiges" Würfelnetz handelt.

  • Damit du das Netz zusammenkleben kannst, musst du 7 Klebelaschen einzeichnen.

 

Überprüfe dein Netz noch einmal, bevor du es ausschneidest und zusammenklebst. Falls es sich um ein "falsches" Würfelnetz handelt oder die Klebelaschen nicht richtig Gesetz wurden, musst du von neuem beginnen.

Beispiel für Klebelaschen

11 Würfelnetze Niveau I

AH Aufgabe 2.1b

AH S. 104

AH Aufgabe 2.2

AH S. 105f

AH Aufgabe 2.4

AH S. 107f

11 Würfelnetze Niveau II

AH Aufgabe 2.1b

AH S. 94

AH Aufgabe 2.2

AH S. 95f

AH Aufgabe 2.4

AH S. 97f

11 Würfelnetze Niveau III

AH Aufgabe 2.1b

AH S. 84

AH Aufgabe 2.2

AH S. 85f

AH Aufgabe 2.4

AH S. 86f

Falsches oder richtiges Netz

Links kannst du dir Animation anschauen von falschen und richtigen Würfelnetze, die mit dem Knopf "Netz schliessen" langsam geschlossen werden können. Mit dem Knopf "Nächstes Netz" kannst du ein anderes Netz betrachten.

​

Um alle Animation von den 11 möglichen Würfelnetze anzuschauen, klicke auf den Button "Die 11 Würfelnetze".

Falsches oder richtiges Netz

Links kannst du dir Animation anschauen von falschen und richtigen Würfelnetze, die mit dem Knopf "Netz schliessen" langsam geschlossen werden können. Mit dem Knopf "Nächstes Netz" kannst du ein anderes Netz betrachten.

​

Um alle Animation von den 11 möglichen Würfelnetze anzuschauen, klicke auf den Button "Die 11 Würfelnetze".

Methodik - Arbeitsteilung Niveau I

Bei der AH Aufgabe 2.6, 2.7 und 2.8 müssen Ecken, Kanten und Flächen eines Würfels in einem Netz und umgekehrt erkannt werden.

 

  1. Bearbeitet diese Aufgabe in einer Gruppe von mindestens 3 Personen.

  2. Löst und korrigiert diese Aufgaben so effizient wie möglich. (Abschreiben gilt nicht als Lösung)

 

Haltet im Mathematik-Heft fest, wie ihr diese Aufgaben gelöst habt und wie ihr die Arbeit aufgeteilt habt.

Netze und Verpackungen Niveau II und Niveau III

Beschaffe dir eine quaderförmige, leere Kartonschachtel für zum Beispiel Teebeutel.

Finde heraus, wie die Verpackungsindustrie hier das Problem mit den Klebelaschen gelöst hat.

 

  1. Öffne vorsichtig alle Klebelaschen. Skizziere dann verkleinert das Netz mit den angefügten Klebelaschen und markiere diese mit Farbe.

  2. Vergleiche mit den Netzen deiner Mitschülerinnen und Mitschüler. Wenn wir die Länge der Kanten ausser Acht lassen, habt ihr dann alle die gleichen Netze erhalten? Was könnten für die Verpackungsindustrie Gründe sein für die Wahl eines bestimmten Quadernetzes?

 

Halte deine Erkenntnisse in deinem Mathematik-Heft fest und skizziere das Netz deiner Verpackung.

Geometrische Körper (Polyeder)

Ein geometrischer Körper ist dreidimensional und besteht aus verschiedenen Flächen. Das Wort Polyeder stammt aus dem altgriechischen und lässt sich grob übersetzen als "Viellflächner", also etwas was aus vielen Flächen besteht.

 

Die geometrischen Körper, die wir in diesem Kapitel behandeln, sind das Prisma, den Quader, die Pyramide und den Würfel. Dabei versuchen wir Merkmale im Zusammenhang mit ihrer Anzahl Ecken, Kanten und Flächen zusammenzubringen und ins Mathematik-Heft festzuhalten.

Aufgabe zu den geometrischen Körpern

Erstellt zu zweit oder zu dritt ein A3-Plakat über einen geometrischen Körper (Prisma, Quader, Pyramide oder Würfel). Sprecht euch dafür in der Klasse ab, welche Gruppe welchen geometrischen Körper übernimmt. Es können auch mehrere Gruppen den gleichen Körper nehmen, jedoch sollte von jedem Körper ein Plakat entstehen.

 

Inhalt des Plakats:

  • Spezielle Merkmale (Anzahl Ecken, Kanten und Flächen)

  • Bild des Körpers (mindestens A4 gross)

  • Bezeichnung der Seiten-, Grund- und Deckflächen (nur wenn vorhanden)

  • mögliche Netze

 

Gebt das Plakat der Lehrperson ab, damit sie diese laminieren und aufhängen kann.

Methodik - Arbeitsteilung Niveau I

Bei der AH Aufgabe 2.6, 2.7 und 2.8 müssen Ecken, Kanten und Flächen eines Würfels in einem Netz und umgekehrt erkannt werden.

 

  1. Bearbeitet diese Aufgabe in einer Gruppe von mindestens 3 Personen.

  2. Löst und korrigiert diese Aufgaben so effizient wie möglich. (Abschreiben gilt nicht als Lösung)

 

Haltet im Mathematik-Heft fest, wie ihr diese Aufgaben gelöst habt und wie ihr die Arbeit aufgeteilt habt.

Netze und Verpackungen Niveau II und Niveau III

Beschaffe dir eine quaderförmige, leere Kartonschachtel für zum Beispiel Teebeutel.

Finde heraus, wie die Verpackungsindustrie hier das Problem mit den Klebelaschen gelöst hat.

 

  1. Öffne vorsichtig alle Klebelaschen. Skizziere dann verkleinert das Netz mit den angefügten Klebelaschen und markiere diese mit Farbe.

  2. Vergleiche mit den Netzen deiner Mitschülerinnen und Mitschüler. Wenn wir die Länge der Kanten ausser Acht lassen, habt ihr dann alle die gleichen Netze erhalten? Was könnten für die Verpackungsindustrie Gründe sein für die Wahl eines bestimmten Quadernetzes?

 

Halte deine Erkenntnisse in deinem Mathematik-Heft fest und skizziere das Netz deiner Verpackung.

Geometrische Körper Niveau I

AH S. 116

AH Aufgabe 5.3

AH S. 115

AH Aufgabe 5.2

AH Aufgabe 5.1

AH S. 114

AH Aufgabe 3.2

AH S. 112f

AH Aufgabe 3.1

AH S. 110ff

Geometrische Körper Niveau II

AH Aufgabe 3.1

AH S. 100f

AH Aufgabe 3.2

AH S. 102

AH Aufgabe 5.1

AH S. 104

AH S. 106f

AH Aufgabe 5.3

AH S. 105

AH Aufgabe 5.2

Geometrische Körper Niveau III

AH Aufgabe 3.1

AH S. 88ff

AH Aufgabe 3.2

AH S. 91f

AH Aufgabe 5.1

AH S. 93

AH S. 94f

AH Aufgabe 5.3

AH S. 94

AH Aufgabe 5.2

Polyedersatz von Euler

Polyedersatz von Euler

Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) hatte einen Zusammenhang zwischen Ecken, Flächen und Kanten von Polyeder entdeckt und in einem Satz zusammengefasst. Um diesen Polyedersatz von Euler auf die Schliche zu kommen, schauen wir zuerst einmal die Anzahl Ecken, Flächen und Kanten der Polyeder an.

 

Löse diese Aufgabe in dein Mathematik-Heft. Erstelle eine Tabelle mit 4 Zeilen und 5 Spalten. Beschrifte sie wie im Bild rechts.

​

Löse dann folgende Aufgaben:

​

  • Bezeichne die Körper. Dafür hast du diese drei Tipps.

    • Ein Oktaeder ist ein Körper mit acht kongruenten (deckungsgleichen) Dreiecken. Der Körper lässt sich in zwei Pyramiden aufschneiden.

    • Ein Hexaeder oder Würfel ist ein Körper mit sechs kongruenten (deckungsgleichen) Quadraten. 

    • Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier kongruenten (deckungsgleichen) Dreiecken. Es ist eine spezielle Form einer Pyramide.

 

  • Zähle die Ecken, Flächen und Kanten der Körper.​​​​​​​
     

  • Finde einen Zusammenhang zwischen den Ecken e, Flächen f und Kanten k. Halte den Zusammenhang in einem Term (Rechnung) fest. (Niveau I)

Polyedersatz von Euler

Polyedersatz von Euler

Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) hatte einen Zusammenhang zwischen Ecken, Flächen und Kanten von Polyeder entdeckt und in einem Satz zusammengefasst. Um diesen Polyedersatz von Euler auf die Schliche zu kommen, schauen wir zuerst einmal die Anzahl Ecken, Flächen und Kanten der Polyeder an.

 

Löse diese Aufgabe in dein Mathematik-Heft. Erstelle eine Tabelle mit 4 Zeilen und 5 Spalten. Beschrifte sie wie im Bild unten.

Löse dann folgende Aufgaben:

​

  • Bezeichne die Körper. Dafür hast du diese drei Tipps.

    • Ein Oktaeder ist ein Körper mit acht kongruenten (deckungsgleichen) Dreiecken. Der Körper lässt sich in zwei Pyramiden aufschneiden.

    • Ein Hexaeder oder Würfel ist ein Körper mit sechs kongruenten (deckungsgleichen) Quadraten. 

    • Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier kongruenten (deckungsgleichen) Dreiecken. Es ist eine spezielle Form einer Pyramide.

 

  • Zähle die Ecken, Flächen und Kanten der Körper.​​​​​​​
     

  • Finde einen Zusammenhang zwischen den Ecken e, Flächen f und Kanten k. Halte den Zusammenhang in einem Term (Rechnung) fest. (Niveau I)

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